Бодалев А.А., Столин В.В., Аванесов В.С. - Общая психодиагностика

Если подбираются пункты, тесно положительно коррелирующие между собой (испытания не являются статистически независимыми), то в распределении баллов возникает отрицательный эксцесс (рис. 3,а), Максимальных значений отрицательный эксцесс достигает по мере возрастания вогнутости вершины распределения - до образования двух вершин -двух мод (с «провалом» между ними -рис. 3,6). Бимодальная конфигурация распределения баллов указывает на то, что выборка испытуемых разделилась на две категории (с плавными переходами между ними): одни справились с большинством заданий (согласились с большинством «ли-вопросов»), другие - не справились.

Рис. 3. Отрицательные (а, б) положительный (в) эксцессы распределения тестовых баллов Такая конфигурация распределения свидетельствует о том, что в основе пунктов лежит какой-то один общий им всем признак, соответствующий определенному свойству испытуемых: если у испытуемых есть это свойство (способность, умение, знание), то они справляются с большинством пунктов, если этого свойства нет - то не справляются. В некоторых редких ситуациях пункты могут отрицательно коррелировать друг с другом. В этом случае на кривой возникает положительный эксцесс (рис. 3, в): вся масса эмпирических точек собирается вблизи среднего значения. Такое возможно в двух случаях: 1) когда ключ составлен неверно -объединены при подсчете отрицательно связанные признаки, которые обусловливают взаимоуничтожение баллов; 2) когда испытуемые применяют, разгадав направленность опросника, специальную тактику «медианного балла» - искусственно балансируют ответы «за» и «против» одного из полюсов измеряемого качества.

Итак, когда в качестве единственного эталона измерения психодиагностами рассматривается сам тест, то в качестве меры измеряемого свойства выступает положение балла на кривой распределения. Применяется процентильная шкала. В качестве универсальной меры, пригодной для разных (по своей качественной направленности и количеству пунктов) тестов, используется «процентильная мера». Процентилъ — процент испытуемых из выборки стандартизации, которые получили равный или более низкий балл, чем балл данного испытуемого. Таким образом, в качестве источника данной меры выступает нормативная выборка (выборка стандартизации), на которой построено нормативное распределение тестовых баллов. Процентильные шкалы лежат в основе всех традиционных шкал, применяемых в тестологии (Т-очки MMPI, баллы IQ, стены 16 PF и др.).

Подчеркнем, что с точки зрения теории измерений, процентильные шкалы относятся к порядковым шкалам: они дают информацию о том, у кого из испытуемых сильнее выражено измеряемое свойство, но не позволяют говорить о том, во сколько раз сильнее. Для того чтобы строить на базе таких шкал количественный прогноз, нужно повысить уровень измерения (популярное изложение представлений о теории измерений см. в книге: Клигер С. А. и др., 1978). Переход к шкалам интервалов производят либо на базе эмпирического распределения, либо на базе произвольной модели теоретического распределения. В абсолютном большинстве случаев в роли такой теоретической модели оказывается модель нормального распределения (хотя в принципе может быть использована любая модель).

В целом кроме статистических, процентильных шкал следует отличать нередко используемые в дифференциальной психометрике еще 2 вида шкал (и соответственно 2 вида тестовых норм). Это, во-первых, то, что можно условно назвать «абсолютными тестовыми нормами» — в роли шкалы для вынесения диагноза выступает сама шкала «сырых» очков, во-вторых, «критериальные» тестовые нормы. Применение таких норм можно считать оправданным в двух случаях: 1) когда сама тестовая «сырая» шкала имеет практический смысл (например, студент, изучающий иностранный язык, должен знать как можно больше слов этого языка, и сырой показатель лексического теста имеет практический смысл); 2) когда сырой балл по тесту в результате эмпирических исследований связывается с заданной вероятностью успешности какой-либо практической деятельности (вероятность успеха «критериальной» деятельности, каковой для упомянутого выше примера может быть синхронный перевод монолога в течение 30 минут).

Процентильная нормализация шкалы. Выше Показано, что нормальность распределения достигается искусственным подбором пунктов теста с заданными статистическими свойствами: Опишем еще ряд процедур, которые также широко используются для искусственной нормализации.

1. Нормализация пунктов. Ключ для данного пункта корректируется на базе нормальной модели. Если среди нормативной выборки с данным заданием справились только 16 % испытуемых, то данному пункту на интервальной шкале «трудности» (при условии априорного принятия нормальной модели с параметрами М = 0 и а = 1) соответствует значение +1 (см. график в книге: Анастазй А., 1982, с. 181). Если справились 75 % испытуемых, то балл пункта на сигма-шкале равен-0,67. В результате суммирования по пунктам баллов, скорректированных нормализацией, суммарные баллы лучше приближаются к нормальному распределению.

2. Нормализация распределения суммарных баллов (или интервальная нормализация). В этом случае по таблице нормального распределения (нормального интеграла) производится переход от процентильной шкалы к сигма-шкале: используется функция, обратная интегральной, - от ординаты производится переход к абсциссе нормального распределения.

Рис. 4. Преобразование процентильной шкалы (по оси X) в нормализованную сигма-шкалу (по оси Y) На рис. 4 дана условная графическая иллюстрация этого перехода (кривая, обратная традиционной S-образной интегральной кривой нормального распределения).

Приведем пример интервальной нормализации (табл. 3). Пусть строка X содержит сырые баллы (не нормализованные) по тесту, полученные простым подсчетом правильных ответов. В строке Р - частоты встречаемости сырых баллов в выборке из 62 испытуемых. В строке F - кумулятивные частоты: =. В строке F* - кумулятивные баллы: . В строке PR - процентильные ранги: . В строке ? даются нормализованные баллы, полученные из соответствующих процентильных рангов по таблицам, а -оценки часто называются в зарубежной литературе также z-оценками.

Таблица 3

Трудность, с которой сталкиваются начинающие при использовании интервальной нормализации, состоит в том, что обычные статистические таблицы не приспособлены для психометрики: нужно отыскивать значение процентильного ранга внутри таблицы, а соответствующую сигма-оценку – с краю. Для облегчения ориентации приведем фрагмент таблицы соответствий PR, а и стенов (табл. 4):

Таблица 4

В обычных таблицах из соображений симметрии даны лишь значения для PR > 50. Для PR < 50 соответствующие значения находятся из тех же таблиц ? = ? -1(1- PR/100). Например, для PR =35 мы находим 1 - PR/100 = 1 - 0,35 = 0,65, затем - по табл. ? -1 = 0,39 и берем это значение с отрицательным знаком -0,39. Для нормализации удобно пользоваться графическим методом (нормальной бумагой, стандартной 5-образной кривой и т. п.).

В результате нормализации интервалы между исходными сырыми баллами переоцениваются в соответствии с нормальной моделью. В отличие от процентильной шкалы, нормальная шкала придает больший вес (в дифференциации испытуемых) краям распределения: различия между испытуемыми, набравшими 95 и 90 процентилей, оцениваются как более высокие, чем различия между испытуемыми, набравшими 65 и 60 процентилей.

В применении к шкалам оценок (рейтинговым шкалам) метод нормализации интервалов называется «методом последовательных интервалов» (Клигер С. А. и др., 1978, с. 75-81).

В результате применения процедуры нормализации исследователь-психометрист получает для нормативной выборки таблицу перевода сырых баллов в нормализованные баллы. На основе этих таблиц часто строят графики: деления сырых баллов наносят на числовую ось с неравными интервалами, так что эмпирическое распределение частот максимально близко приближается к нормальной форме. Пример такой графической нормализации - профильные листы MMPI (Анастази А., 1982, с. 129).

Так как нормальное распределение описывается всего двумя параметрами: средним М (мерой положения) и средним квадратическим (или стандартным) отклонением а (мерой рассеяния), то диагностические нормы в случае нормализованных шкал описываются в единицах отклонений от среднего по выборке; например, заключают, что испытуемый А показал результат, превышающий средний балл на две сигмы, испытуемый В -результат, оказавшийся ниже среднего балла на одну сигму, и т. п. На процентильной шкале этому соответствуют процентильные ранги 95 и 16 соответственно.

Переход к нормальному распределению создает очень удобные условия для количественных операций с диагностической шкалой: как со шкалой интервалов с ней можно производить операции линейного преобразования (умножение и сложение), можно описывать диагностические нормы в компактной форме (в единицах отклонений), можно применять линейный коэффициент корреляции Пирсона, критерии для проверки статистических гипотез, построенные в применении к нормальному распределению, т. е. весь аппарат традиционной статистики (основанной на нормальном распределении). !

Неправомерность онтологизации нормального закона. В традиционной психометрике нормальное распределение выступает в роли инструментального понятия, облегчающего оперирование с данными. Но это не означает, что можно забывать об искусственном происхождении нормального распределения. Традиции западной тестологии, основанные еще Ф. Гальтоном, предполагают однородность теоретических представлений психометрики и биометрики. Точно так же как происхождение нормального распределения при исследовании вариативности биологических характеристик человеческого организма связывается с наличием взаимодействия постоянного фактора генотипа и изменчивых случайных факторов фенотипа, - происхождение межиндивидуальных психологических различий связывается с генетическим кодом, якобы предопределяющим положение индивида на оси нормальной кривой. В действительности же нет никаких оснований приписывать появление нормальной кривой, часто получаемой с помощью специальных статистических непростых процедур, действию механизма наследственности.

В тех случаях, когда на большой выборке удается получить нормальное распределение без каких-либо искусственных способствующих этому мер, это опять-таки не означает вмешательства генетики. Закон нормального распределения воспроизводится всякий раз, когда на измеряемое свойство (на формирование определенного уровня способностей индивида) действует множество разных по силе и направленности факторов, независимых друг от друга. История прижизненных средовых воздействий, которые испытывает на себе субъект, также подобна последовательности независимых событий: одни факторы действуют в благоприятном направлении, другие - в неблагоприятном, а в результате взаимопогащение их влияний происходит чаще, чем тенденциозное однонаправленное сочетание (большинство благоприятных или большинство неблагоприятных), т. е. возникает нормальное распределение. Массовые исследования показывают, что введение контроля над одним из средовых популяционных факторов (уровень образования родителей, например) приводит к расслоению кривой нормального распределения: выборочные кривые оказываются смещенными относительно друг друга (Анастази А., 1982, с. 201). Эти результаты служат ярким подтверждением социокультурного происхождения статистических диагностических норм, что одновременно служит основанием для серьезных предосторожностей при переносе норм, полученных на одной популяции, на другие популяции. Однородными можно считать только те популяции, по отношению к которым действует одинаковый механизм выборки: ив ситуации создания (стандартизации) теста, и в ситуации его диагностического применения. Здесь приходится учитывать и такие нюансы выборочного механизма, как феномен нормальных добровольцев. Если выборку стандартизации формировать на студентах, добровольно согласившихся участвовать в тестировании, а применение теста планируется на сплошных выборках (в административном порядке), то это грозит определенными ошибками в диагностических суждениях, так как психологический портрет «добровольца» в существенных чертах отличается от портрета испытуемого, соглашающегося на тестирование только под административным давлением (Шихирев П.Н, 1979, с. 181).

Подсчет параметров и оценка типа распределения. Для описания выборочного распределения, как правило, используются следующие известные параметры:

1. Среднее арифметическое значение:

, (3.1.1) где xj – балл i-го испытуемого; yi -значение i-го балла по порядку возрастания; pi - частота встречающегося i-го балла; n - количество испытуемых в выборке (объем); m - количество градаций шкалы (количество баллов).

1. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение: 

2.  

, (3.1.2) где - сумма квадратов тестовых баллов для и испытуемых.

3. Асимметрия:

(3.1.3) где - среднее арифметическое значение; S - стандартное отклонение; ? - среднее кубическое значение: , С - среднее квадратическое:

4. Эксцесс:

, (3.1.4) где Q - среднее значение четвертой степени: .

Стандартная ошибка среднего арифметического значения (математического ожидания) оценивается по формуле:

(3.1.5) На основе ошибки математического ожидания строятся доверительные интервалы: ) Если тестовый балл какого-либо испытуемого попадает в границы доверительного интервала, то нельзя считать, что испытуемый обладает повышенным (или пониженным) значением измеряемого свойства с заданным уровнем статистической значимости.

Асимметрия и эксцесс нормального распределения должны быть равны нулю. Если хотя бы один из двух параметров существенно отличается от нуля, то это означает анормальность полученного эмпирического распределения.

Проверку значимости асимметрии можно произвести на основе общего неравенства Чебышева:

(3.1.6) где Sa - дисперсия эмпирической оценки асимметрии:

, (3.1.7) где р - уровень значимости или вероятность ошибки первого рода: ошибки в том, что будет принят вывод о незначимости асимметрии при наличии значимой асимметрии (в формулу подставляют стандартные р = 0,05 или р = 0,01 и проверяют выполнение неравенства). Сходным образом оценивается значимость эксцесса:

(3.1.8) где Sе - эмпирическая дисперсия оценки эксцесса:

. (3.1.9) Гипотезы об отсутствии асимметрии и эксцесса принимаются с вероятностью ошибки р (пренебрежимо малой), если выполняются неравенства (3.1.6) и (3.1.8).

Более легкий метод проверки нормальности эмпирического распределения основывается на универсальном критерии Колмогорова. Для каждого тестового балла у. (для каждого интервала равнозначности при дискретизации непрерывной хронометрической шкалы) вычисляется величина D. - модуль отклонения эмпирической и теоретической интегральных функций распределения:

(3.1.10) где F- эмпирическая интегральная функция (значение кумуляты в данной точке уj); U — теоретическая интегральная функция, взятая из таблиц1. Среди Dj отыскивается максимальное значение Dmax, и величина сравнивается с табличным значением критерия Колмогорова.

В таблице 5 приведены асимптотические критические значения для распределения Колмогорова (при ). Близость эмпирического значения ?е к левосторонним стандартным квантилям ?t позволяет констатировать близость эмпирического и предполагаемого теоретического распределения с пренебрежимо малой вероятностью ошибки р (0,01; 0,05; 0,10 и т, п.). Близость ?е к правосторонним стандартным квантилям ?t позволяет сделать вывод о статистически значимом отсутствии согласованности эмпирического и теоретического распределений. Надо помнить, что критерий Колмогорова, очень простой в вычислительном' отношении, обеспечивает надежные выводы лишь при 200: Критерий Колмогорова резко снижает свою эффективность, когда наблюдения группируются по малому количеству интервалов равнозначности. Например, при n = 200 количество интервалов должно быть не менее 20 (примерно по 10 наблюдений на каждый интервал в среднем).

Таблица 5

Если проверка согласованности эмпирического распределения с нормальным дает положительные результаты, то это означает, что полученное распределение можно рассматривать как устойчивое -репрезентативное по отношению к генеральной совокупности - и, следовательно, на его основе можно определить репрезентативные тестовые нормы. Если проверка не выявляет нормальности на требуемом уровне, то это означает, что либо выборка мала и нерепрезентативна к популяции, либо измеряемые свойство и устройство теста (способ подсчета) вообще не дают нормального распределения.

В принципе отнюдь не обязательно все нормативные распределения сводить к нормальным. Можно с равным успехом пользоваться хорошо разработанными моделями гамма-распределения, пуассоновского распределения и т. п. Критерий Колмогорова позволяет оценить близость вашего эмпирического распределения к любому теоретическому распределению. При этом устойчивым и репрезентативным может оказаться распределение любого типа. Если из нормальности, как правило, следует устойчивость, то обратное неверно -устойчивость вовсе не обязательно предполагает нормальность распределения.